Journal title
Comptes Rendus Mathématique
DOI
10.1016/j.crma.2018.05.010
Issue
7
Volume
356
Last updated
2024-03-28T17:25:25.04+00:00
Page
720-724
Abstract
<p>For a path of length <i>L</i> > 0, if for all <i>n</i> ≥ 1, we multiply the <i>n</i>-th term of the signature by <i>n</i>!<i>L</i><sup>-<i>n</i></sup>, we say that the resulting signature is ‘<i>normalised</i>’. It has been established (T. J. Lyons, M. Caruana, T. Lévy, Differential equations driven by rough paths, Springer, 2007) that the norm of the <i>n</i>-th term of the normalised signature of a bounded-variation path is bounded above by 1. In this article, we discuss the super-multiplicativity of the norm of the signature of a path with finite length, and prove by Fekete's lemma the existence of a non-zero limit of the <i>n</i>-th root of the norm of the <i>n</i>-th term in the normalised signature as <i>n</i> approaches infinity.</p>
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<p>Pour une trajectoire de longueur <i>L</i> > 0, si l'on multiplie le <i>n</i>-ième terme de la signature par <i>n</i>!<i>L</i><sup>-<i>n</i></sup> pour tout <i>n</i> ≥ 1, la signature ainsi obtenue est dite « <i>normalisée</i> ». Il a été établi (T. J. Lyons, M. Caruana, T. Lévy, Differential equations driven by rough paths, Springer, 2007) que la norme du <i>n</i>-ième terme de la signature normalisée d'une trajectoire à variation bornée est majorée par 1. Dans cet article, nous étudions la super-multiplicativité de la norme de la signature d'une trajectoire de longueur finie, et nous démontrons, à l'aide du lemme de Fekete, l'existence d'une limite non nulle lorsque <i>n</i> tend l'infini pour la racine <i>n</i>-ième de la norme du <i>n</i>-ième terme de la signature normalisée.
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<p>Pour une trajectoire de longueur <i>L</i> > 0, si l'on multiplie le <i>n</i>-ième terme de la signature par <i>n</i>!<i>L</i><sup>-<i>n</i></sup> pour tout <i>n</i> ≥ 1, la signature ainsi obtenue est dite « <i>normalisée</i> ». Il a été établi (T. J. Lyons, M. Caruana, T. Lévy, Differential equations driven by rough paths, Springer, 2007) que la norme du <i>n</i>-ième terme de la signature normalisée d'une trajectoire à variation bornée est majorée par 1. Dans cet article, nous étudions la super-multiplicativité de la norme de la signature d'une trajectoire de longueur finie, et nous démontrons, à l'aide du lemme de Fekete, l'existence d'une limite non nulle lorsque <i>n</i> tend l'infini pour la racine <i>n</i>-ième de la norme du <i>n</i>-ième terme de la signature normalisée.
Symplectic ID
852210
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Publication type
Journal Article
Publication date
22 May 2018